Un po’ di rompicapi...

Le etichette scambiate

Immaginate di avere tre scatole, una della quali contiene due palline nere, un’altra due palline bianche e la terza una pallina nera e una pallina bianca.
Sulle scatole è stata messa un’etichetta corrispondente al contenuto – NN, BB, NB - , ma qualcuno ha scambiato le etichette, perciò sulle scatole ora ci sono le etichette sbagliate. Potete estrarre una pallina alla volta da qualsiasi scatola, senza guardare all’interno, e in base a queste estrazioni dovete stabilire i contenuti delle tre scatole.
Qual è il numero minimo di estrazioni necessarie per dare una risposta certa?

Il viaggiatore in anticipo

Un pendolare arriva regolarmente alla stazione della metropolitana in periferia alla cinque del pomeriggio. Sua moglie lo va sempre a prendere alla stazione in macchina e lo accompagna a casa. Un giorno prende un treno prima e arriva alla stazione alle quattro. E’ una bella giornata, perciò, invece di telefonare a casa, si incammina a piedi lungo la strada che segue sempre sua moglie, così si incontreranno da qualche parte lungo il percorso. Così succede, lui sale sulla macchina e arrivano a casa 10 minuti prima del solito.
Ipotizzando che la moglie guidi sempre a velocità costante, e che in questa occasione sia partita giusto in tempo per arrivare alle cinque alla stazione, per quanto tempo ha camminato il marito prima di incontrare la moglie?

Le monete false

Si hanno 10 pile di monete, tutte uguali fra loro, diciamo da 1 euro. Una pila è composta da monete false, ma non si sa quale.
Ogni moneta legale da 1 euro ha un certo peso e ogni moneta falsa pesa un grammo più della moneta buona. Si possono pesare le monete con una bilancia a molla.
Qual è il numero minimo di pesate necessarie per stabilire quale sia la pila di monete false?

Quanti figli?

“Ho sentito dei bambini giocare in cortile?” dice Bender, studente della II B, “Sono tutti suoi?”.
“No, no...” risponde il professor Merlino, eminente teorico dei numeri. “I miei figli giocano con gli amici che sono di tre altre famiglie del quartiere, anche se la nostra famiglia è la più numerosa. I Simpson hanno meno figli di noi, i Robinson ne hanno un numero ancora più piccolo e gli Smith ne hanno il numero minore di tutti.”

“Quanti bambini sono in tutto?” chiede Andrea.
“Allora...”, risponde Merlino. “Ci sono meno di 18 bambini e il prodotto dei numeri dei figli delle quattro famiglie è proprio uguale al numero civico della mia casa, che hai visto quando sei arrivato.”
Andrea estrae un foglio e una matita e comincia a fare dei calcoli.
Dopo un momento alza la testa e chiede: “Ho bisogno di sapere un’altra informazione. La famiglia Smith ha più di un figlio?”
Non appena Merlino risponde, Andrea sorride ed elenca correttamente il numero dei figli di ciascuna famiglia.
Come ha fatto Andrea a risolvere il quesito, sapendo il numero civico e il numero dei figli della famiglia Smith?

Soluzioni

1. Si possono determinare i contenuti di tutte e tre le scatole estraendo una sola pallina. La chiave per la soluzione sta nel sapere che tutte e tre le etichette sulle scatole sono sbagliate. Si deve estrarre una pallina dalla scatola con l’etichetta NB. Supponiamo che la pallina estratta sia nera. Allora l’altra pallina nella scatola deve essere nera; altrimenti l’etichetta darebbe giusta. Dato che a questo punto si è identificata la scatola contenente due palline nere, si può subito stabilire che cosa contenga la scatola con l’etichetta BB: non può contenere due palline bianche, perché l’etichetta è sbagliata; non può contenere due palline nere, perché si è già identificata la scatola relativa; quindi deve contenere una pallina bianca e una nera. La terza scatola, ovviamente, deve essere quella che contiene le due palline bianche. NotaBene: si può risolvere il rompicapo con lo stesso ragionamento anche se la pallina estratta dalla scatola con l’etichetta NB è bianca.

2. Il pendolare ha camminato per 55 minuti prima di incontrare la moglie. Dato che arrivano a casa dieci minuti prima del solito, questo significa che la moglie ha potuto ridurre di 10 minuti il suo normale tempo di percorrenza da casa alla stazione e ritorno, cioè ridotto di 5 minuti il tempo che di solito impiega per raggiungere la stazione. Ne segue che incontra il marito 5 minuti prima dell’ora in cui solitamente lo prende alla stazione, alle cinque in punto, cioè alle 4:55. Il marito, avendo cominciato a camminare alle quattro in punto, ha camminato per 55 minuti. Da notare che la velocità a cui cammina l’uomo, la velocità a cui guida la moglie e la distanza fra casa e stazione non sono necessarie per risolvere il problema.

3. La pila di monete false può essere identificata con una sola pesata. Si prendono una moneta dalla prima fila, due dalla seconda, tre dalla terza e così via fino a che non si sono prese tutte e dieci le monete della decima pila. Poi si mettono tutte le monete scelte sulla bilancia. Il peso in eccesso, in numero di grammi, corrisponde al numero della pila che contiene le monete false. Per esempio, se il gruppo di monete scelte pesa 7 grammi in più di quel che dovrebbe, la pila di monete false deve essere la settima da cui sono state prese sette monete, ciascuna delle quali pesa 1 grammo in più di una moneta buona. Se anche ci fosse una undicesima pila di dieci monete, il procedimento appena descritto funzionerebbe ancora, perché se non ci fosse eccesso di peso vorrebbe dire che la pila di monete false è proprio quella esclusa.

4. Il primo passo effettuato da Andrea è stato quello di scomporre il numero civico in quattro fattori diversi, la cui somma fosse minore di 18. Se ci fosse stato un solo modo di scomporre in fattori il numero civico, avrebbe risolto subito il problema ma, poiché non poteva risolverlo senza ulteriori informazioni, ne concludiamo che dovesse esistere più di un modo di scomporre in fattori il numero civico. Il passo successivo è stato quello di scrivere tutte le possibili combinazioni di quattro numeri la cui somma fosse minore di 18 e ottenere il prodotto dei numeri di ciascun gruppo. Ci sono molto casi in cui più di una combinazione dà lo stesso prodotto. Come si fa a decidere quale prodotto sia il numero civico? L’indizio sta nel fatto che Andrea chiede al professore se ci fosse più di un figlio nella famiglia con meno figli. La domanda ha senso solo se il numero civico è 120, che può essere scomposto in fattori in tre modi: 1x3x5x8 – 1x4x5x6 – 2x3x4x5. Se il professore avesse risposto “No”, il problema sarebbe rimasto senza soluzione, ma siccome Andrea riesce a risolverlo la risposta doveva essere un “Si”. Quindi le famiglie avevano rispettivamente 2,3,4 e 5 figli.

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