Il problema degli uccelli di Fibonacci

Nel suo Liber Abbaci, Leonardo Pisano, verso la fine del capitolo 11, inserisce un curioso problema, diventato in seguito famoso tra tutti i matematici.

Su di un uomo che compra trenta uccelli di tre specie diverse per 30 denari

Un uomo compra 30 uccelli - pernici, colombi e passeri - per 30 denari, pagando 3 denari per una pernice, 2 denari per un colombo e un denaro per 2 passeri (ossia ½ denaro per passero). Vogliamo sapere quanti uccelli di ciascuna specie ha comprato.

Ciò che rende questo problema particolarmente intrigante è che sembra non ci siano informazioni sufficienti per risolverlo. Infatti, indicando con x il numero delle pernici, con y quello dei colombi e con z quello dei passeri, possiamo sfruttare le informazioni date per formulare due equazioni:

x + y + z = 30 (il numero degli uccelli comprati è pari a 30)

3x + 2y + 1/2z = 30 (il prezzo complessivo pagato è pari a 30)

Ora per trovare tre incognite abbiamo bisogno di tre equazioni, ma ne abbiamo solo due.
Ciò che rende differente questo problema è la presenza di un’informazione aggiuntiva di fondamentale importanza per la soluzione del problema: tutti i valori delle tre incognite devono essere numeri interi positivi.
Infatti il valore che rappresenta il numero di uccelli comprati non può essere uguale a zero e non può essere frazionario.

Quindi la risoluzione è la seguente:
raddoppiamo ogni termine nella seconda equazione così da renderli interi:

x + y + z = 30

6x + 4y + z = 60

Sottraiamo la prima equazione dalla seconda in modo da eliminare z: 5x + 3y = 30

Ora, dato che il primo e il terzo termine sono divisibili per 5, anche y sarà divisibile per 5; pertanto, y sarà uguale a 5 o a 10 o a 15 e così via.

Ma y non può essere uguale a 10 o a un numero più grande, poiché altrimenti non potrebbe soddisfare l’ultima equazione;

quindi  y = 5.
Ne segue che x = 3 e z = 22.

Da notare che Leonardo risolve il problema con la stessa strategia usando però, come era solito, le parole e non i simboli matematici che utilizziamo oggi.