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Il problema degli uccelli di Fibonacci

 

Nel suo Liber Abbaci, Leonardo Pisano, verso la fine del capitolo 11, inserisce un curioso problema, diventato in seguito famoso tra tutti i matematici: 

Su di un uomo che compra trenta uccelli di tre specie diverse per 30 denari

Un uomo compra 30 uccelli- pernici, colombi e passeri- per 30 denari, pagando 3 denari per una pernice, 2 denari per un colombo e un denaro per 2 passeri ( ossia ½ denaro per passero). Vogliamo sapere quanti uccelli di ciascuna specie ha comprato.

Ciò che rende questo problema particolarmente intrigante è che sembra non ci siano informazioni sufficienti per risolverlo. Infatti, indicando con x il numero delle pernici, con y quello dei colombi e con z quello dei passeri, possiamo sfruttare le informazioni date per formulare due equazioni:

x + y + z = 30 ( il numero degli uccelli comprati è pari a 30)

3x + 2y + 1/2z = 30 ( il prezzo complessivo pagato è pari a 30)

Ora per trovare tre incognite abbiamo bisogno di tre equazioni, ma ne abbiamo solo due.
Ciò che rende differente questo problema è la presenza di un’informazione aggiuntiva di fondamentale importanza per la soluzione del problema: tutti i valori delle tre incognite devono essere numeri interi positivi.
Infatti il valore che rappresenta il numero di uccelli comprati non può essere uguale a zero e non può essere frazionario.
Quindi la risoluzione è la seguente:

Raddoppiamo  ogni termine nella seconda equazione così da renderli interi:

x + y + z = 30

6x + 4y + z = 60

Sottraiamo la prima equazione dalla seconda in modo da eliminare z5x + 3y = 30

Ora, dato che il primo e il terzo termine sono divisibili per 5, anche y sarà divisibile per 5; pertanto,  y sarà uguale a 5, o a 10, o a 15 e così via.

Ma y non può essere uguale a 10 o a un numero più grande, poiché altrimenti non potrebbe soddisfare l’ultima equazione;

quindi  y = 5. Ne segue  che x = 3 e z = 22.

Da notare che Leonardo risolve il problema con la stessa strategia usando però, come era solito, le parole e non i simboli matematici che utilizziamo oggi.

 

 

 

Raddoppiamo  ogni termine nella seconda equazione così da renderli interi:

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L'Autore

matteo

Matteo Molinari è docente di Matematica dal 2009 nelle Scuole Secondarie di Primo Grado di Roma e del Lazio. Ha svolto e svolge attività di ricerca e formazione in relazione alla didattica della Matematica con particolare attenzione alle nuove tecnologie. Ha collaborato alla stesura di diversi libri di testo per l’editoria scolastica. E’ autore di diversi articoli sulla storia della Matematica pubblicati sul portale online di divulgazione scientifica www.xlatangente.it.