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Filetto, tris...gioco banale?

 

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Molte volte è capitato di rimproverare i nostri alunni durante una spiegazione, perché distratti a giocare a Tris, un gioco, che a prima vista può sembrare nulla più di un semplice passatempo. Invece può risultare un buon espediente per parlare di Teoria dei giochi, branca della matematica che si occupa di individuare strategie migliori per risolvere un dato problema.

Per esempio nella versione più semplice del gioco del Tris o filetto, il numero delle mosse possibili è molto grande: 15.120, ottenuto da 9x8x7x6x5, successioni differenti per le prime cinque mosse solamente. Tuttavia esistono solo pochi schemi fondamentali.

Nel gergo della teoria dei giochi, il filetto è un gioco a due “finito”, cioè si arriva ad una conclusione ben definita, privo di elementi di casualità e a “informazione diretta” poiché tutte le mosse sono note ad entrambi i giocatori. Se viene giocato intelligentemente da entrambe le parti, il gioco deve finire in parità; l’unica possibilità di vittoria sta nel catturare un avversario inesperto in una “trappola”, in cui è possibile completare una “fila” nella mossa successiva in due modi diversi, uno solo dei quali può essere bloccato.

Analizziamo qualche giocata.

Delle tre possibili aperture di gioco, un angolo - il centro – una casella, la più forte è l’angolo, perché l’avversario può evitare di essere intrappolato alla mossa successiva solo con una delle otto possibili scelte: il centro. Viceversa, le trappole avviate con un’apertura al centro possono essere bloccate solo scegliendo un angolo. Infine, l’apertura laterale è  per molti aspetti la più interessante per la sua ricchezza di possibili trappole per ambo le parti e può essere contrastata scegliendo una fra quattro caselle. Nelle immagini seguenti sono mostrate le diverse aperture (X) e le ragionevoli risposte possibili (O) da parte di un secondo giocatore.

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Una variante del filetto, matematicamente più interessante della sua forma attuale, veniva giocata molti secoli prima dell’era cristiana. Veniva utilizzata una scacchiera 3x3 sulla quale venivano mosse sei pedine, tre per ogni giocatore. Nella forma più semplice, che si giocava nell’antica Cina, in Grecia e a Roma, i giocatori muovevano a turno, collocando una pedina sulla scacchiera fino a che non fossero state disposte tutte le sei pedine. Se nessuno dei due aveva vinto collocandone tre in file, in modo ortogonale o in diagonale, si continuava a giocare spostando ad ogni mossa una singola pedina su una casella adiacente, solamente in orizzontale o verticale.

Particolarità del gioco sta nel fatto che, anche se veniva proibita l’apertura al centro, mossa certamente vincente, e quindi chiusura del gioco in parità, molte sono le potenziali trappole da ambo le parti!

Quindi possiamo concludere che da un’apparente semplice gioco si può sviluppare un ingegnoso ragionamento logico e come dice John Nash: 

Ci sono molte somiglianze tra un teorema e una partita (a scacchi): ad esempio, nella precisione e nella bellezza. Giocare bene è come fare una bella dimostrazione.

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