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Vuoi un fiammifero?


Un teorema della Teoria dei Giochi, dovuto a Ernst Friedrich Zermelo, sostiene l’esistenza teorica di una strategia ottimale per ogni gioco di competizione a due che, come gli scacchi, non preveda mosse nascoste o affidate al caso e termini sempre con un preciso risultato. In particolare, se un gioco di tale tipo, cioè determinato, non prevede un risultato finale di parità, la strategia ottimale è vincente per uno ed uno solo dei due giocatori.

 

La garanzia dell’esistenza di una tale strategia non aggiunge però alcuna informazione, né sulla sua struttura, né su quale dei due giocatori favorisce.
Per poter applicare, in pratica, una strategia vincente bisogna essere in grado di riconoscere quali configurazioni, ottenibili nel corso di una partita, debbano considerarsi vincenti e quali perdenti:
- una configurazione è detta vincente, se determina la vittoria immediata del giocatore cui toccherebbe muovere, o se consente almeno una mossa che generi una configurazione perdente per il suo avversario;
- una configurazione è detta perdente, se determina la sconfitta immediata del giocatore cui toccherebbe muovere, o se consente solo mosse che generano configurazioni vincenti per il suo avversario.

Uno dei più semplici esempi di gioco determinato è il gioco dei 15 fiammiferi.
Ecco le istruzioni:

1. Si mettono sul tavolo, in ordine sparso, 15 fiammiferi.
2. Dopo aver stabilito a chi spetta la prima mossa, ogni giocatore, al proprio turno, deve togliere un numero di fiammiferi compreso tra 1 e 4, a sua scelta.
3. Perde chi è costretto a prendere l’ultimo fiammifero.
Per prima cosa, si può notare che questo gioco non ammette un risultato di pareggio, per cui la sua strategia ottimale è quella vincente.
Per individuare tale strategia, il sistema migliore è quello di partire dalla configurazione finale e procedere a ritroso fino a ritornare a quella iniziale.
Si osserva che:
- 0 è vincente, perché l’ultimo fiammifero è stato tolto dal giocatore che ha appena effettuato la mossa e, quindi, chi sarebbe adesso di turno ha vinto la partita.
- 1 è perdente, perché il giocatore di turno non può far altro che prelevare l’unico fiammifero rimasto.
- 2, 3, 4, 5 sono vincenti, perché il giocatore di turno ha la possibilità di effettuare una mossa che lasci a tavola un solo fiammifero .
- 6 è perdente perché, il giocatore di turno, qualsiasi mossa faccia, non può fare a meno di porgere all’avversario una configurazione vincente (2, 3, 4, o 5).

Proseguendo con questo ragionamento, non è difficile costruire la seguente tabella, nella quale, in corrispondenza a ogni possibile configurazione è riportata la relativa caratteristica (P = perdente ; V = vincente) e la quantità di fiammiferi che bisogna togliere per effettuare la mossa giusta.

fiammifero

Osservando il prospetto così ottenuto, si può notare, in particolare, che il giocatore a cui spetta la prima mossa ha la possibilità di vincere la partita, in quanto la configurazione di partenza, con 15 fiammiferi sul tavolo, è vincente.
Dalle indicazioni riportate nella tabella, si può dedurre la seguente semplice strategia:
- per vincere, bisogna prelevare un numero di fiammiferi tale che sul tavolo ne restino 11 o 6 o 1.
Se non è possibile effettuare una mossa del genere, vuol dire che la configurazione che si ha di fronte è perdente e che, quindi, non si ha alcun modo per influire direttamente su un esito vittorioso della partita.
Buon divertimento!!

 

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L'Autore

matteo

Matteo Molinari è docente di Matematica dal 2009 nelle Scuole Secondarie di Primo Grado di Roma e del Lazio. Ha svolto e svolge attività di ricerca e formazione in relazione alla didattica della Matematica con particolare attenzione alle nuove tecnologie. Ha collaborato alla stesura di diversi libri di testo per l’editoria scolastica. E’ autore di diversi articoli sulla storia della Matematica pubblicati sul portale online di divulgazione scientifica www.xlatangente.it.