Numeri transfiniti

In piena crisi dei fondamenti della matematica, alla fine del 1800, Cantor cercò di ridefinire il concetto elementare di insieme, partendo dai suoi membri.

Per esempio {1,2,3,4,5} e {1,4,9,16,25} sono due insiemi con cardinalità 5 e possiamo definire 5 un numero cardinale. Tale ragionamento vale per ogni insieme con un numero finito di elementi e quindi l’insieme dei numeri naturali non rientra tra questi.
Cantor notò, comunque, che si poteva stabilire una corrispondenza biunivoca tra l’insieme di tutti i numeri naturali e l’insieme di tutti i quadrati, accoppiando ad ogni n il suo quadrato n^2. Insiemi con questa caratteristica vennero detti equinumerosi: per insiemi finiti è come dire “avere lo stesso numero di elementi”, per gli insiemi infiniti è più complicato capire cosa si intende con questo termine. Cantor andò oltre: introdusse un sistema di numeri transfiniti o cardinali infiniti, che rese possibile dire quanti membri ha un insieme infinito.
Il punto di partenza era un nuovo tipo di numero, che egli distinse con il simbolo ℵ_0, la prima lettera dell’alfabeto ebraico con l’aggiunta dell’indice 0 e si legge aleph-zero. Questo numero è per definizione la cardinalità dell’insieme di tutti i numeri naturali. Cantor richiese, poi, che tutti gli insiemi che si potessero mettere in corrispondenza biunivoca con l’insieme di tutti i numeri naturali avessero cardinalità ℵ_0: così l’insieme di tutti i quadrati, di tutti i numeri pari, di tutti i numeri dispari hanno la stessa cardinalità. Queste definizioni implicano che un insieme più piccolo può avere la stessa cardinalità di uno più grande, senza alcuna contraddizione. Bisogna stare attenti però a non assumere che i cardinali infiniti si comportino come quelli finiti; per esempio la cardinalità dell’insieme dei numeri pari e quella dei numeri dispari è ℵ_0 e quindi, non avendo elementi in comune, per analogia con gli insiemi finiti, ℵ_0+ℵ_0 dovrebbe dare un nuovo elemento, invece è ancora ℵ_0, cardinalità dell’insieme dei numeri naturali. Molto stravagante!
A questo punto ci si può chiedere se esiste un insieme infinito che non abbia cardinalità ℵ_0, ossia non possa essere messo in corrispondenza biunivoca con l’insieme dei numeri naturali. Si pensò che l’insieme Q dei numeri razionali potesse rientrare tra questi, ma nel 1873 lo stesso Cantor dimostrò che anche Q ha cardinalità ℵ_0. Nell’anno successivo, però, dimostrò che l’insieme R di tutti i numeri reali non ha cardinalità ℵ_0. Cantor ipotizzò che la cardinalità dei reali fosse ℵ_1, ma non riuscì a dimostrarlo e chiamò il nuovo cardinale c, definendo l’equazione c=ℵ_1 ipotesi del continuo.