La retta è...

Dare la definizione di retta non è mai semplice perché si potrebbe incorrere in contraddizioni o imprecisioni. Facciamo un excursus storico

Euclide nel suo primo libro degli Elementi la definisce così:

La linea retta è quella che giace ugualmente rispetto ai punti su di essa.

Tale definizione è riconducibile, secondo alcuni storici, ad una precedente definizione di Platone, secondo cui è retto quello il cui centro fa ombra alle estremità.

Nei suoi testi, il matematico Proclo, afferma che la retta è la sola (linea) che occupa una distanza pari ai punti che sono su di essa, ossia è la linea più breve tra due punti.
In queste definizioni bisogna capire cosa si intende con i “punti della retta”; da una parte si possono considerare come i punti che formano la retta, anche se ciò andrebbe in contrasto con la concezione nella matematica greca, secondo cui i punti non sono parti della linea. Dall’altra i punti non sono nella linea in quanto componenti, cioè, come direbbe Aristotele, non sono in atto nella linea, ma solo in potenza; appaiono, quindi, solo al momento della divisione della linea in parti.

A questo punto ci si può chiedere se il giacere ugualmente della retta, nella definizione euclidea, non si riferisca ai punti effettivamente presenti insieme alla linea stessa: i suoi estremi. Tale precisazione pone un altro quesito: cosa vuol dire giacere uniformemente tra i suoi estremi”?

Per rispondere, consideriamo un’altra definizione di retta, presente nelle Definizioni del matematico Erone di Alessandria, secondo il quale una retta è una linea tesa al massimo. Il legame tra queste definizioni è evidente: la retta dà la minima distanza tra due suoi punti proprio perché tra tutte le linee essa è tesa al massimo.
La definizione di retta in termini di minima distanza richiederebbe che quest’ultima venga definita indipendentemente dalla retta; qui sembra non avvenire così.

Aristotele dice che è sulla base della retta che consideriamo la distanza di un punto da un altro; ma se così è, abbiamo un circolo vizioso. Una linea è retta quando occupa una distanza pari a quella dei suoi punti, e la distanza tra due punti è quella che si misura sulla retta che li unisce.

Come si può vedere, non è facile dare una definizione senza suscitare ulteriori precisazioni, ma la retta euclidea è tale perché, usando le parole del matematico Commandino si distende ugualmente tra i suoi punti, ugualmente perché è tesa e quindi realizza la distanza minima tra gli estremi.