I Pitagorici e le frazioni

 

Già dalla scuola primaria sappiamo che i numeri interi 1,2,3,... conducono in maniera naturale a un secondo tipo di numeri, le frazioni, che i matematici chiamano numeri razionali. Un numero razionale è una frazione a/b dove a, b sono numeri interi ( con b diverso da zero).

Le frazioni suddividono i numeri interi in parti arbitrariamente piccole, in maniera tale che, in particolare, la lunghezza di un segmento in una figura geometrica può essere approssimata da un numero razionale con la precisione desiderata. Sembra naturale immaginare che una suddivisione sufficiente possa indicare con esattezza il numero; se fosse così tutte le lunghezze sarebbero razionali. E se questo fosse vero, la geometria sarebbe molto più semplice perché una lunghezza su due sarebbe un multiplo intero di una lunghezza comune (magari piccola), e si potrebbe così ottenere mettendo insieme molte copie di questa lunghezza comune. Anche se può sembrare poco importante, questo fatto renderebbe molto più semplice tutta la teoria sulle lunghezze, le aree e soprattutto le figure simili; si potrebbe dimostrare tutto usando diagrammi costruiti con tantissime repliche di una forma fondamentale. Purtroppo non è così.
A scoprire la falsità di questa ipotesi, secondo la leggenda, fu il pitagorico Ippaso di Metaponto. Egli dimostrò che la diagonale di un quadrato con i lati lunghi una unità è irrazionale, cioè non si può esprimere con una frazione esatta. L’interpretazione moderna dell’osservazione di Ippaso è che √2 è un numero irrazionale. Per i pitagorici, questo risultato era un brutto colpo per la loro convinzione, quasi religiosa, che l’universo fosse centrato sui numeri, intesi come numeri interi. Le frazioni, in quanto rapporti tra interi, si adattavano abbastanza bene in questa visione del mondo, ma i numeri che si dimostravano diversi dalle frazioni non potevano essere accettati.
E dunque colui che si era permesso di divulgare una tale assurdità doveva essere condannato: il povero Ippaso durante una traversata in barca del Mediterraneo, venne gettato in mare e lasciato annegare.

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