I numeri di Gauss

Tra i diversi studi portati avanti da Gauss nel campo matematico, uno molto particolare è quello relativo alla teoria dei numeri: numeri complessi a + bi, con a e b interi prendono il nome di interi gaussiani.

Per essi, Gauss definì le diverse operazioni e scoprì che il concetto di numero primo si può generalizzare agli interi gaussiani.
Un intero gaussiano è primo se non può essere espresso come prodotto di altri interi gaussiani in una maniera non banale: la fattorizzazione in primi per gli interi gaussiani è unica. Alcuni numeri primi ordinari, come 3 e 7, se li consideriamo interi gaussiani sono ancora primi, mentre altri no: 5=(2+i)(2-i).
Se dividiamo un intero gaussiano per un altro, il risultato può non essere un intero gaussiano, ma uno simile: è della forma a + bi, con a e b razionali. Tali numeri vengono chiamati numeri gaussiani.
Applicando questi concetti a polinomi con coefficienti interi si possono determinare particolari struttura algebriche: anelli, campi e algebre.

Anello: struttura algebrica dove le operazioni di addizione, sottrazione e moltiplicazione sono definite e soddisfano tutte le tradizionali leggi dell’algebra tranne la legge commutativa della moltiplicazione. Se vale questa legge, si ha un anello commutativo.

Campo: struttura algebrica dove le operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione sono definite e soddisfano tutte le leggi dell’algebra, compresa la legge commutativa della moltiplicazione.

Algebra: struttura simile ad un anello, ma i suoi elementi possono essere moltiplicati anche per diverse costanti, numeri reali e numeri complessi.

Esistono centinaia di specie differenti di strutture algebriche, ciascuna con la propria lista di assiomi. Alcune sono state inventate soltanto per esplorare le conseguenze di assiomi interessanti, ma la maggior parte di esse nasce da una necessità in qualche problema specifico.