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I primi di mersenne

 

Un numero di Mersenne è un numero della forma 2n-1; mentre un primo di Mersenne è un numero di Mersenne che sia anche un numero primo. E’ immediato dimostrare che in questo caso anche l’esponente n deve essere un numero primo; infatti per i primi numeri primi, n = 2, 3, 5 e 7, i corrispondenti numeri di Mersenne sono tutti primi: 3, 7, 31 e 127.
L’interesse per i numeri di Mersenne risale a molto tempo fa, e inizialmente si credeva che fossero primi per ogni valore primo di n.
Ma nel 1536 Hudalricus Regius dimostrò che questo è falso, osservando che 211-1=2047=23 × 89 .
Nel 1603 Pietro Cataldi notò che 217-1 e 219-1 sono primi e affermò che anche per n = 23, 29, 31 e 37 si ottengono numeri primi.
Fermat mostrò che Cataldi sbagliava per n = 23 e n = 37, ed Eulero confutò la sua tesi riguardo ad n = 29.

Nel suo libro del 1644 intitolato Cogitata Physico-Mathematica, il monaco francese Marin Marsenne affermò che 2n-1 è primo quando n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 e 257, e per nessuno altro valore prima di 257. Ovviamente, usando i metodi disponibili all’epoca non può aver verificato molti di questi numeri, e quindi le sue asserzioni erano per lo più supposizioni, ma il suo nome rimase legato a questo problema.
Con metodi più moderni, alcuni matematici del XIX e XX secolo hanno dimostrato che Mersenne aveva sbagliato ad inserire il 67 e il 257 e aveva omesso il 61, 89, e 107.

Nel corso degli anni sono stati individuati nuovi primi di Mersenne sempre più grandi, anche attraverso l’uso di potenti computer, e nel 2008 la lista ne comprendeva 46.

giochi 1

 

giochi 2

 Per informazioni maggiori e aggiornate, si può visitare il sito www.mersenne.org

 

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L'Autore

matteo

Matteo Molinari è docente di Matematica dal 2009 nelle Scuole Secondarie di Primo Grado di Roma e del Lazio. Ha svolto e svolge attività di ricerca e formazione in relazione alla didattica della Matematica con particolare attenzione alle nuove tecnologie. Ha collaborato alla stesura di diversi libri di testo per l’editoria scolastica. E’ autore di diversi articoli sulla storia della Matematica pubblicati sul portale online di divulgazione scientifica www.xlatangente.it.