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Paradossi della probabilità

La teoria della probabilità è un campo della matematica molto ricco di paradossi, verità che vanno così tanto contro il buon senso che è difficile esserne convinti anche dopo averli correttamente dimostrati.

Analizziamo due di essi.

Paradosso delle date di nascita

Scegliamo a caso 24 persone. Qual è, secondo voi, la probabilità che due o più di loro abbiano lo stesso compleanno, e quindi essere nate lo stesso giorno e nello stesso anno?

Intuitivamente, si potrebbe pensare che sia molto bassa……invece è 27/50, cioè poco più del 50%!

Dimostrazione ( Geogre Gamow): La probabilità che il giorno del compleanno di due persone qualsiasi non sia uguale è 364/365, poiché c’è solo una possibilità su 365 che il giorno del compleanno di una persona coincida con quello di un’altra.
La probabilità che il giorno del compleanno di una terza persona sia diverso da quello delle prime due è 363/365; quello di una quarta persona 362/365 e così via finche non si arriva alla ventiquattresima persona, la cui probabilità è 342/365
A questo punto, per ottenere la probabilità che tutti i 24 compleanni cadano in giorni diversi, bisogna moltiplicare le 23 frazioni (probabilità composta).
Il prodotto è uguale ad una frazione che ridotta ai minimi termini è 23/50.
E quindi la probabilità che due compleanni cadano lo stesso giorno è 27/50.

N.B. Questo calcolo non tiene conto del 29 febbraio e del fatto che le date di nascita tendono a concentrarsi di più in certi mesi dell’anno rispetto ad altri; la prima cosa fa diminuire la probabilità, la seconda la fa aumentare.

Paradosso del secondo figlio

Il Signor Bart dice: “ Ho due figli e almeno uno è un maschio.”
Qual è la probabilità che l’altro figlio sia maschio?
Istintivamente si è tentati a dire il 50%, ma non è la risposta esatta.
Infatti, le tre possibili combinazioni equiprobabili sono: MM, MF, FM.
Solo una delle tre è MM, perciò la probabilità è 1/3, circa il 33%.

Dimostrazione: Se il signor Bart avesse detto che il suo primo figlio è un maschio, le combinazioni sarebbero solo due: MM, MF e quindi la probabilità diventerebbe ½.
Nel caso considerato, invece, non avendo specificato, si aggiunge la terza combinazione.

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L'Autore

matteo

Matteo Molinari è docente di Matematica dal 2009 nelle Scuole Secondarie di Primo Grado di Roma e del Lazio. Ha svolto e svolge attività di ricerca e formazione in relazione alla didattica della Matematica con particolare attenzione alle nuove tecnologie. Ha collaborato alla stesura di diversi libri di testo per l’editoria scolastica. E’ autore di diversi articoli sulla storia della Matematica pubblicati sul portale online di divulgazione scientifica www.xlatangente.it.