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Quattro problemi... ancora da dimostrare

 A volte, si ha l’impressione che la matematica sia una disciplina senza più domande, invece i matematici sono in continua ricerca. Ci sono congetture ancora in attesa di una dimostrazione… vediamone alcune.

 

Il problema di Brocard

Per qualsiasi intero n, il suo fattoriale n! è il prodotto

4problemi6

In riferimento a tale argomento, tra il 1876 e il 1885, Henri Brocard osservò che:

4problemi

cioè tutti i risultati sono quadrati perfetti.

Non riuscendo a verificare la proprietà per altri fattoriali,
si chiese se fosse sempre verificabile.
Indipendentemente, nel 1913, tale congettura rientrò anche negli studi del matematico indiano autodidatta Srinivasa Ramanujan. Nel 2000 altri due matematici mostrarono la non esistenza di ulteriori soluzioni per fattoriali fino a un miliardo.

 

Numeri perfetti dispari

I numeri perfetti sono quei numeri uguali alla somma di tutti i suoi divisori propri, eccetto se stesso; per esempio:

6 = 1 + 2 + 3
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

Euclide dimostrò che se 4problemi2 è primo, allora 4problemi7 è perfetto; infatti gli esempi dati sono riferiti ad n = 2 e n = 3. I primi di questa forma, come già detto in un’altra occasione, sono detti primi di Mersenne e se ne conoscono attualmente 48.
Eulero dimostrò che tutti i numeri perfetti pari devono avere questa forma, mentre ancora nessuno ha trovato un numero perfetto dispari, né ha dimostrato la loro non esistenza. Solo il matematico Pomerance ha provato a mostrarlo con un ragionamento non rigoroso.

 

La congettura di Collatz

Consideriamo un numero intero. Se è pari, dividiamolo per 2; se è dispari, moltiplichiamo per 3 e sommiamo 1 e iteriamo il procedimento. Cosa succede?
Per esempio, se partiamo da 12 i numeri che troviamo sono
12→6→3→10→5→16→8→4→2→1
e la sequenza 4→2→1 si ripete all’infinito.
Il matematico Lothar Collatz, nel 1937, formulò la tesi, senza dimostrarla, che da qualunque numero si parta, si arriva sempre alla stessa sequenza. Ad oggi, è stata solo verificata, attraverso un computer, per tutti i numeri inziali fino a 4problemi3

 

La congettura del corridore solitario

Questo particolare nome fu coniato da Luis Goddyn nel 1998 per una congettura formulata da Jorg Wills nel 1967.
Supponiamo che n corridori percorrano una pista circolare di lunghezza unitaria a velocità uniformi, tutte diverse. E’ vero che ognuno dei corridori in qualche momento sarà solitario, cioè ad una distanza 4problemi4 in più rispetto a tutti gli altri?
La risposta è ovviamente positiva per i diversi corridori in diversi momenti, ma la congettura è che sia sempre positiva. Ad oggi è stata dimostrata per n = 4, 5, 6, e 7.

 

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L'Autore

matteo

Matteo Molinari è docente di Matematica dal 2009 nelle Scuole Secondarie di Primo Grado di Roma e del Lazio. Ha svolto e svolge attività di ricerca e formazione in relazione alla didattica della Matematica con particolare attenzione alle nuove tecnologie. Ha collaborato alla stesura di diversi libri di testo per l’editoria scolastica. E’ autore di diversi articoli sulla storia della Matematica pubblicati sul portale online di divulgazione scientifica www.xlatangente.it.