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La retta è...

Euclide nel suo primo libro degli Elementi la definisce così:

 La linea retta è quella che giace ugualmente rispetto ai punti su di essa.

Tale definizione è riconducibile, secondo alcuni storici, ad una precedente definizione di Platone, secondo cui “è retto quello il cui centro fa ombra alle estremità”.

Nei suoi testi, il matematico Proclo, afferma che “la retta è la sola (linea) che occupa una distanza pari ai punti che sono su di essa”, ossia è la linea più breve tra due punti.
In queste definizioni bisogna capire cosa si intende con i “punti della retta”; da una parte si possono considerare come i punti che formano la retta anche se ciò andrebbe in contrasto con la concezione nella matematica greca, secondo cui i punti non sono parti della linea. Dall’altra parte i punti non sono nella linea in quanto componenti, cioè, come direbbe Aristotele, non sono in atto nella linea, ma solo in potenza; appaiono, quindi, solo al momento della divisione della linea in parti.
A questo punto ci si può chiedere se il giacere ugualmente della retta, nella definizione euclidea, non si riferisca ai punti effettivamente presenti insieme alla linea stessa: i suoi estremi. Tale precisazione pone un altro quesito: cosa vuol dire “giacere uniformemente tra i suoi estremi” ?
Per rispondere, consideriamo un’altra definizione di retta, presente nelle Definizioni del matematico Erone di Alessandria, secondo il quale una retta è una linea tesa al massimo. Il legame tra queste definizioni è evidente: la retta dà la minima distanza tra due suoi punti proprio perché tra tutte le linee essa è tesa al massimo.
La definizione di retta in termini di minima distanza richiederebbe che quest’ultima venga definita indipendentemente dalla retta; qui sembra non avvenire così.
Aristotele dice che “è sulla base della retta che consideriamo la distanza di un punto da un altro”; ma se così è, abbiamo un circolo vizioso: una linea è retta quando occupa una distanza pari a quella dei suoi punti, e la distanza tra due punti è quella che si misura sulla retta che li unisce.

Come si può vedere, non è facile dare una definizione senza suscitare ulteriori precisazioni, ma la retta euclidea è tale perché, usando le parole del matematico Commandino “si distende ugualmente tra li suoi punti”, ugualmente perché è tesa e quindi realizza la distanza minima tra gli estremi.

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L'Autore

matteo

Matteo Molinari è docente di Matematica dal 2009 nelle Scuole Secondarie di Primo Grado di Roma e del Lazio. Ha svolto e svolge attività di ricerca e formazione in relazione alla didattica della Matematica con particolare attenzione alle nuove tecnologie. Ha collaborato alla stesura di diversi libri di testo per l’editoria scolastica. E’ autore di diversi articoli sulla storia della Matematica pubblicati sul portale online di divulgazione scientifica www.xlatangente.it.