Particolare dimostrazione della “Formula di Eulero”

 

La formula di Eulero per la geometria solida mette in relazione il numero di spigoli, di facce e di vertici di un qualsiasi poliedro: F + V – S = 2.
Il matematico francese Cauchy provò a fornire una sua dimostrazione.

Rimuovendo una faccia, si schiacci la superficie del solido su un piano.
Quest’operazione riduce F di 1 e quindi la dimostrazione consisterà nel verificare che F + V – S = 1.
Per ottenere questo risultato convertiamo tutte le facce in triangoli, tracciando delle diagonali che non si intersecano. Ogni nuova diagonale lascia il numero di vertici V invariato, ma aumenta sia il numero di spigoli S che il numero di facce F di 1; quindi la relazione rimane invariata. Ora iniziamo a cancellare gli spigoli, partendo dall’esterno. Ognuna di queste eliminazioni riduce sia F che S, ma lascia invariato il numero di vertici, e quindi F + V – S è ancora 1. Quando non si hanno più facce da cancellare, rimane un albero di spigoli e vertici, che non ha alcun cammino chiuso. Uno alla volta cancelliamo i vertici terminali, lungo lo spigolo che li congiunge. Ora S e V diminuiscono entrambi di 1, e di nuovo la relazione è invariata. Alla fine questo processo si interromperà con un vertice solitario e si avrà F = 0, S = 0 e V = 1; quindi F + V – S = 1, come volevasi dimostrare.

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