Benvenuto nel Mathbox!
Il nuovo portale di Matematica dedicato alla Scuola Secondaria di Primo Grado

facebook-logo.png facebook-logo.png email-icon-lattes.pngphone-icon-lattes.pnglogo lattes

Particolare dimostrazione della “Formula di Eulero”

 

La formula di Eulero per la geometria solida mette in relazione il numero di spigoli, di facce e di vertici di un qualsiasi poliedro: F + V – S = 2.
Il matematico francese Cauchy provò a fornire una sua dimostrazione.

Rimuovendo una faccia, si schiacci la superficie del solido su un piano.
Quest’operazione riduce F di 1 e quindi la dimostrazione consisterà nel verificare che F + V – S = 1.
Per ottenere questo risultato convertiamo tutte le facce in triangoli, tracciando delle diagonali che non si intersecano. Ogni nuova diagonale lascia il numero di vertici V invariato, ma aumenta sia il numero di spigoli S che il numero di facce F di 1; quindi la relazione rimane invariata. Ora iniziamo a cancellare gli spigoli, partendo dall’esterno. Ognuna di queste eliminazioni riduce sia F che S, ma lascia invariato il numero di vertici, e quindi F + V – S è ancora 1. Quando non si hanno più facce da cancellare, rimane un albero di spigoli e vertici, che non ha alcun cammino chiuso. Uno alla volta cancelliamo i vertici terminali, lungo lo spigolo che li congiunge. Ora S e V diminuiscono entrambi di 1, e di nuovo la relazione è invariata. Alla fine questo processo si interromperà con un vertice solitario e si avrà F = 0, S = 0 e V = 1; quindi F + V – S = 1, come volevasi dimostrare.

Scopri la Casa Editrice

lattes bottom

Lattes Editori pubblica libri di testo per la scuola secondaria di primo e secondo grado. Il catalogo offre agli insegnanti e agli studenti titoli sempre aggiornati sull’attività didattica e sulle nuove piattaforme multimediali per la scuola. Un impegno costante per la scuola digitale con particolare attenzione alla didattica inclusiva.

L'Autore

matteo

Matteo Molinari è docente di Matematica dal 2009 nelle Scuole Secondarie di Primo Grado di Roma e del Lazio. Ha svolto e svolge attività di ricerca e formazione in relazione alla didattica della Matematica con particolare attenzione alle nuove tecnologie. Ha collaborato alla stesura di diversi libri di testo per l’editoria scolastica. E’ autore di diversi articoli sulla storia della Matematica pubblicati sul portale online di divulgazione scientifica www.xlatangente.it.