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Il principio di induzione

Giuseppe Peano fu tra i matematici che, agli inizi del Novecento, misero in discussione i fondamenti della matematica. In particolare egli si dedicò all’aritmetica, riformulando le regole base, conosciute negli ambienti scientifici con il nome di Assiomi di Peano.

Per introdurre i Numeri Naturali, egli si basa su cinque assiomi precisi:

 

  • 1 è un numero;
  • Il successivo di un numero è un numero;
  • 1 non è successivo di nessun numero;
  • Se i successivi di due numeri sono uguali, anche i due numeri sono uguali;
  • Se un insieme A⊂ N contiene il numero 1 e il successivo di ogni suo elemento, allora A = N

Tra tutti, essenziali per caratterizzare il sistema dei numeri naturali, quello che ha un ruolo importante nelle definizione delle operazioni con i numeri e nella dimostrazione delle proprietà relative, è il quinto, noto come principio di induzione.
Gli assiomi enunciati riguardano, alla fine, una sola operazione:
il passaggio da un numero intero a al suo successivo, che indicheremo con S(a).
E’ interessante analizzare la definizione della somma e del prodotto, in quanto si utilizza in modo implicito il principio di induzione.

SOMMA

La somma a+b di due numeri naturali è definita dalle relazioni seguenti:

a+1=S(a)
a+(b+1)=(a+b)+1 (A)

A questa definizione Peano aggiunge una nota esplicativa:

Questa definizione si deve leggere così: se a e b sono numeri, e se a+b è un numero, ma a+(b+1) non è stato ancora definito, allora a+(b+1) significa il numero che segue a+b.

Questo è un esempio di definizione ricorsiva. Intuitivamente, la prima relazione definisce la somma a+b per b = 1; la seconda ci dice che se essa è definita per b, lo è anche per b+1. Di conseguenza, la somma è definita per ogni numero b.

Altro esempio di definizione ricorsiva è quella del PRODOTTO.

Il prodotto ab di due numeri naturali è definito dalle relazioni: 

a⋅1=a
a(b+1)=ab+a

Per concludere, riporto come dimostrazione esplicativa, quella della proprietà associativa della somma.

Teorema (Proprietà associativa): Per ogni terna di numeri a, b e c si ha (a+b)+c=a+(b+c) (B)

Dimostrazione. La (B) è vera per c= 1 ; infatti in questo caso non è altro che la (A). Supponiamo ora che sia vera per c e dimostriamola per c+1. Si ha (a+b)+(c+1)≝[(a+b)+c]+1≝[a+(b+c)]+1≝a+[(b+c)+1]≝a+[b+(c+1)]

Per il principio di induzione, la (B) vale per ogni c, e il teorema è dimostrato.

 

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L'Autore

matteo

Matteo Molinari è docente di Matematica dal 2009 nelle Scuole Secondarie di Primo Grado di Roma e del Lazio. Ha svolto e svolge attività di ricerca e formazione in relazione alla didattica della Matematica con particolare attenzione alle nuove tecnologie. Ha collaborato alla stesura di diversi libri di testo per l’editoria scolastica. E’ autore di diversi articoli sulla storia della Matematica pubblicati sul portale online di divulgazione scientifica www.xlatangente.it.