Onde matematiche

Se la corda ha un nodo al centro, allora essa produce una nota più alta di un ottavo; maggiore è il numero di nodi, più alta sarà la frequenza delle note, fino ad arrivare alle virazioni più alte chiamate armoniche.
Le vibrazioni prodotte da una corda di violino sono onde stazionarie: la forma della corda è la stessa in ogni istante, tranne per il fatto di essere tirata o compressa nella direzione ad angolo retto rispetto alla sua lunghezza.
Nel 1759 l’idea di corda vibrante fu estesa alla membrana oscillante di un tamburo; tale interesse fu portato avanti da Eulero.
Egli derivò una funzione d’onda, che descriveva la variazione nel tempo dello spostamento della pelle del tamburo in direzione verticale. Fisicamente il fenomeno può essere così spiegato: l’accelerazione di una piccola porzione di pelle è proporzionale alla tensione media esercitata su di essa da tutte le parti circostanti della membrana. A differenza di una corda di violino, la pelle di un tamburo è bidimensionale e ha un contorno più spesso. Tale contorno può essere considerato come una curva chiusa e la condizione fondamentale è che sia fisso, mentre il resto della membrana può muoversi.
Per studiare il fenomeno in modo analitico, i matematici del XVIII secolo partirono dalla membrana più semplice, quella rettangolare; le vibrazioni generate sono combinazioni di ondulazioni sinusoidali nelle due direzioni perpendicolari. Il caso più complicato è dato dalla membrana circolare, che produce funzioni particolari chiamate funzioni di Bessel.
Ma Eulero non si dedicò solo allo studio delle onde prodotte dagli strumenti musicali, ma alle onde sonore in genere.