I sistemi numerici nella civiltà babilonese

Alcune tavolette babilonesi presentano problemi del tipo "differenza e prodotto" e "somma e prodotto", cioè problemi che chiedono di determinare x e y nota la loro differenza o la loro somma e che conducono all’impostazione di sistemi come quelli qui sotto:

1. Un esempio del primo sistema si può trovare nella tavoletta babilonese YBC 6967 in cui si legge: (L'area è 60), la base supera l'altezza di 7; quanto sono base e altezza? 

Analizziamo una possibile soluzione geometrica.

Si costruisca (come in Figura 1) il rettangolo ABCD di base AB = x e altezza AD = y (con x > y) con area uguale a 60; sul lato AB si prenda il punto E tale che valga l’uguaglianza AE = AD = y e si costruisc quadrato AEFD di area y ² .

 
EB è dunque uguale a x - y cioè 7 e se con H si indica il punto medio di EB, si ottiene che i segmenti EH e HB misurano entrambi .

Ne segue che i rettangoli FEHG e GHBC sono uguali; ora si sposti il secondo in modo che il lato HG coincida con AE. L'esagono così ottenuto, equivalente al rettangolo di partenza, ha area uguale a 60 (Fig. 2). Aggiungendo il quadrato ECIH con area uguale a si ottiene il quadrato DBIG di area uguale a 

Quindi il lato DG di tale quadrato misura quanto la radice quadrata di questo valore, cioè 

Si ha infine:  e di conseguenza  .

Bene, questa costruzione geometrica illustra passo passo i calcoli presenti sulla tavoletta:

2. Nella tavoletta BM 34568,9 – invece - è presente un esempio del secondo problema: Ho sommato lunghezza e larghezza (e fa) 13, e 48 (è) la superficie (del rettangolo).
Questa volta, vediamo prima le operazioni sulla tavoletta:

da cui si deduce che la lunghezza vale 8 e la larghezza vale 6.
Ora indicando con x e y, con x > y, rispettivamente, la lunghezza e la larghezza del rettangolo, e considerando la seguente figura, i precedenti calcoli diventano: